V0.8.9
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Christian Risi
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c72d2ce347
commit
344641b0a4
@ -0,0 +1,48 @@
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# Kallman Decomposition
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## Some background
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- $X_r = R(K_c)$ : Reachable space is the range of the
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`controllable matrix`
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- $X_{no} = Ker(K_o)$ : Not observable Space is the kernel
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of the `observability matrix`
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- $X = X_r \bigoplus X_{nr}$ : Each possible state is sum of
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bases of `reachable` and `not-reachable states`
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## Full Decomposition
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> [!TIP]
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> Follow [Example 12](./Examples/EXAMPLE-12.md/#kallman-full-decomposition) To understand this part
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- $X_1 = X_r \cap X_{nr}$ : `Reachable` but `Not-Observable`
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space
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- $X_2 =$ Complement of $X_1$ to cover $X_r$ : Both `Reachable`
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and `Observable`
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- $X_3 =$ Complement of $X_1$ to cover $X_{no}$ : Both
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`Not-Reachable` and `Not-Observable`
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- $X_4 =$ Complement of all the others to cover $X$ : Bot
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`Not-Reachable` and `Observable`
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From here we have these blocks:
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$$
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\begin{align*}
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\hat{A} &= \begin{bmatrix}
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||||
\hat{A}_{11} & \hat{A}_{12} & \hat{A}_{13} & \hat{A}_{14} \\
|
||||
0 & \hat{A}_{22} & 0 & \hat{A}_{24} \\
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||||
0 & 0 & \hat{A}_{33} & \hat{A}_{34} \\
|
||||
0 & 0 & 0 & \hat{A}_{44}
|
||||
\end{bmatrix}\\
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||||
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||||
\hat{B} &= \begin{bmatrix}
|
||||
\hat{B}_{1} \\ \hat{B}_{2} \\ 0 \\ 0
|
||||
\end{bmatrix}\\
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||||
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||||
\hat{C} &= \begin{bmatrix}
|
||||
0 & \hat{C}_{2} & 0 & \hat{C}_{4}
|
||||
\end{bmatrix}
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||||
\end{align*}
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$$
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||||
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||||
Now, the eigenvalues of $\hat{A} = \cup_i^4 \hat{A}_{ii}$ and:
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- $eig(\hat{A}_{11})$: `Reachable` and `Not-Observable`
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||||
- $eig(\hat{A}_{22})$: `Reachable` and `Not-Observable`
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||||
- $eig(\hat{A}_{33})$: `Not-Reachable` and `Not-Observable`
|
||||
- $eig(\hat{A}_{44})$: `Not-Reachable` and `Observable`
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230
docs/Chapters/Examples/EXAMPLE-12.md
Normal file
230
docs/Chapters/Examples/EXAMPLE-12.md
Normal file
@ -0,0 +1,230 @@
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# Example 12
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## Kallman Full Decomposition
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$$
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\begin{align*}
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||||
A &= \begin{bmatrix}
|
||||
-4 & -3 & 0 & -2 \\
|
||||
6 & 5 & 0 & 2 \\
|
||||
4 & 1 & 1 & -6 \\
|
||||
-1 & -1 & 0 & -3 \\
|
||||
\end{bmatrix}\\
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||||
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||||
B &= \begin{bmatrix}
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||||
-1 \\
|
||||
1 \\
|
||||
2 \\
|
||||
0 \\
|
||||
\end{bmatrix}\\
|
||||
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||||
C &= \begin{bmatrix}
|
||||
-3 & -2 & 0 & 1 \\
|
||||
\end{bmatrix}\\
|
||||
|
||||
D &= \begin{bmatrix}
|
||||
0
|
||||
\end{bmatrix}\\
|
||||
|
||||
K_r &= \begin{bmatrix}
|
||||
-1 & 1 & -1 & 1 \\
|
||||
1 & -1 & 1 & -1 \\
|
||||
2 & -1 & 2 & -1\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0
|
||||
\end{bmatrix}\\
|
||||
|
||||
K_{no} &= \begin{bmatrix}
|
||||
|
||||
-3 &-2 &0 &1\\
|
||||
-1 &-2 &0 &-1\\
|
||||
-7 &-6 &0 &1\\
|
||||
-9 &-10& 0 &-1\\
|
||||
\end{bmatrix}\\
|
||||
|
||||
\end{align*}\\
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||||
\text{To find all the bases, for $P_{K_r}$ you should find the}\\
|
||||
\text{independent columns and find the system}\\
|
||||
|
||||
\text{For $P_{K_{no}}$ you should find the system by looking at}\\
|
||||
\text{rows, solve it and then find some bases}\\
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||||
\begin{align*}
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||||
|
||||
P_{K_r} &= \begin{bmatrix}
|
||||
0&1\\
|
||||
0&-1\\
|
||||
1&0\\
|
||||
0&0
|
||||
\end{bmatrix}\\
|
||||
|
||||
X_r &= \begin{cases}
|
||||
x_1 =-x_2 \\
|
||||
x_4 = 0
|
||||
\end{cases}\\
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||||
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||||
X_{no} &= \begin{cases}
|
||||
-3x_1 - 2x_2 + x_4 = 0 \\
|
||||
-x_1 -2x_2 -x_4 = 0
|
||||
\end{cases} \rightarrow \\
|
||||
|
||||
&\rightarrow \begin{cases}
|
||||
x_1 = x_4 \\
|
||||
x_1 = -x_2
|
||||
\end{cases} \\
|
||||
|
||||
P_{K_{no}} &= \begin{bmatrix}
|
||||
1 & 0\\
|
||||
-1 & 0\\
|
||||
0 & 1 \\
|
||||
1 & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{align*} \\
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||||
\text{Now, let's get all $X_r$ and $X_{no}$ elements}\\
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||||
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||||
\begin{align*}
|
||||
X_r &= \left\{
|
||||
\alpha \begin{bmatrix}
|
||||
0\\
|
||||
0\\
|
||||
1\\
|
||||
0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
+
|
||||
\beta \begin{bmatrix}
|
||||
1\\
|
||||
-1\\
|
||||
0\\
|
||||
0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\right\}\\
|
||||
|
||||
X_{no} &= \left\{
|
||||
\alpha \begin{bmatrix}
|
||||
1 \\
|
||||
-1\\
|
||||
0 \\
|
||||
1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
+
|
||||
\beta \begin{bmatrix}
|
||||
0\\
|
||||
0\\
|
||||
1 \\
|
||||
0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\right\}
|
||||
\end{align*}\\
|
||||
$$
|
||||
Now, let's get $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
X_1 &= X_r \cap X_{no} = \begin{cases}
|
||||
x_1 =-x_2 \\
|
||||
x_4 = 0 \\
|
||||
x_1 = x_4
|
||||
\end{cases}\\
|
||||
|
||||
X_1 &= \begin{bmatrix}
|
||||
0 \\ 0 \\ x_3 \\ 0
|
||||
\end{bmatrix}\\
|
||||
|
||||
0 &= X_1^T X_1^\perp \rightarrow \\
|
||||
|
||||
&\rightarrow \begin{bmatrix}
|
||||
0 & 0 & x_3 & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
x_a \\ x_b \\ x_c \\ x_d
|
||||
\end{bmatrix} = 0 \rightarrow \\
|
||||
&\rightarrow\begin{cases}
|
||||
x_c = 0
|
||||
\end{cases} \\
|
||||
|
||||
X_1^\perp &= \begin{bmatrix}
|
||||
x_a \\ x_b \\ 0 \\ x_d
|
||||
\end{bmatrix}\\
|
||||
|
||||
X_2 &= X_r \cap X_1^\perp = \begin{cases}
|
||||
x_1 = -x_2 \\
|
||||
x_3 = 0 \\
|
||||
x_4 = 0 \\
|
||||
\end{cases}\\
|
||||
|
||||
X_2 &= \begin{bmatrix}
|
||||
x_1 \\ -x_1 \\ 0 \\ 0
|
||||
\end{bmatrix}\\
|
||||
|
||||
X_3 &= X_{no} \cap X_1^\perp = \begin{cases}
|
||||
x_1 = -x_2 \\
|
||||
x_1 = x_4 \\
|
||||
x_3 = 0 \\
|
||||
\end{cases}\\
|
||||
|
||||
X_3 &= \begin{bmatrix}
|
||||
x_1 \\ -x_1 \\ 0 \\ x_1
|
||||
\end{bmatrix}\\
|
||||
|
||||
0 &= X_2^T X_2^\perp =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & -1 & 0 & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
x_a \\ x_b \\ x_c \\ x_d
|
||||
\end{bmatrix}\rightarrow \\
|
||||
&\rightarrow\begin{cases}
|
||||
x_a - x_b = 0
|
||||
\end{cases} \\
|
||||
\\
|
||||
|
||||
0 &= X_3^T X_3^\perp =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & -1 & 0 & 1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
x_a \\ x_b \\ x_c \\ x_d
|
||||
\end{bmatrix}\rightarrow \\
|
||||
&\rightarrow\begin{cases}
|
||||
x_a - x_b + x_d = 0
|
||||
\end{cases} \\
|
||||
\\
|
||||
|
||||
X_4 &= X_1^\perp \cap X_2^\perp \cap X_3^\perp = \\
|
||||
&= \begin{cases}
|
||||
x_3 = 0 \\
|
||||
x_1 = x_2 \\
|
||||
x_4 = 0\\
|
||||
\end{cases} = \\
|
||||
&= \begin{bmatrix}
|
||||
x_1 \\ x_2 \\ 0 \\ 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Now we find the change state matrix:
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||||
$$
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||||
\begin{align*}
|
||||
Q^{-1} &= \begin{bmatrix}
|
||||
X_1 & X_2 & X_3 & X_4
|
||||
\end{bmatrix} = \\
|
||||
&= \begin{bmatrix}
|
||||
0 & 1 & 1 & 1\\
|
||||
0 & -1 & -1 & 1\\
|
||||
1 & 0&0&0\\
|
||||
0&0&1&0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\end{align*}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Compute:
|
||||
$$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\hat{A} &= QAQ^{-1}\\
|
||||
\hat{B} &= QB \\
|
||||
\hat{C} &= CQ^{-1}
|
||||
\end{align*}
|
||||
$$
|
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